Teoria de grupos
Curso introductorio de teoría de grupos con enfoque teórico y demostrativo, orientado a nivel intermedio. La disciplina, rama central del álgebra abstracta, formaliza la noción matemática de simetría y estructura algebraica, con relevancia directa en criptografía, aritmética modular y diseño de sistemas backend. El estudiante desarrollará rigor deductivo para verificar axiomas, demostrar teoremas fundamentales (Lagrange, isomorfía) y clasificar grupos finitos. Al concluir, será capaz de razonar formalmente sobre estructuras algebraicas y conectar sus abstracciones con aplicaciones computacionales reales.
Prerrequisitos
- Álgebra lineal a nivel universitario (espacios vectoriales y operaciones matriciales)
- Aritmética modular y operaciones con congruencias
- Lógica proposicional y técnicas básicas de demostración (inducción, contradicción)
- Familiaridad con notación de conjuntos y funciones
Contenido del curso
Fundamentos y axiomas de la teoría de grupos
- Axiomas de grupo: la definición formal
- Ejemplos fundamentales y analogías computacionales
- Génesis histórica: de Galois a la abstracción
- Práctica: verificación de axiomas y tablas de Cayley
- Síntesis: el panorama de las estructuras de grupo
Subgrupos, órdenes y grupos cíclicos
- Subgrupos y el criterio de subgrupo
- Orden de elementos y grupos cíclicos
- Estructura de los grupos cíclicos
- Práctica: generación de subgrupos y retículos
- Síntesis: arquitectura interna de un grupo
Teorema de Lagrange y clases laterales
- Clases laterales y particiones del grupo
- El teorema de Lagrange y sus consecuencias
- Aplicación: Fermat, Euler y aritmética modular
- Práctica: cálculo de índices y clases laterales
- Síntesis: restricciones estructurales por conteo
Homomorfismos e isomorfismos
- Homomorfismos: preservando la estructura
- Núcleo, imagen y subgrupos normales
- Isomorfismos como equivalencia estructural
- Práctica: detección de isomorfismos e invariantes
- Síntesis: el lenguaje de los morfismos
Grupos cociente y teoremas de isomorfía
- Subgrupos normales y grupos cociente
- Los teoremas de isomorfía
- Aplicación: clasificación de grupos de orden pequeño
- Práctica: análisis crítico de demostraciones
- Síntesis: la arquitectura de los cocientes
Acciones de grupo y síntesis integradora
- Acciones de grupo y simetría
- Aplicación: grupos en computación y criptografía
- Práctica: construcción de un proyecto teórico
- Síntesis final: creación y defensa del proyecto
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